Здравствуйте, Судя по описанию и фотографиям, сыпь без температуры, зуда и гнойников, на фоне легких соплей и кашля, чаще всего указывает на вирусную инфекцию. Это может быть реакция на вирус, похожая на ту, что бывает при вирусе Эпштейна-Барр, или обычное сезонное ОРВИ. На укусы насекомых это тоже может быть похоже, но обычно укусы сильно чешутся, а вы пишете, что зуда нет.
Поскольку ребенок активен, температуры нет и нет признаков нагноения, ситуация не выглядит опасной. Сейчас важно просто наблюдать: давайте больше теплого питья, если вдруг появится зуд можно дать детское антигистаминное в возрастной дозировке. Если сыпь начнет быстро распространяться, поднимется температура, появится вялость или элементы станут похожи на мелкие кровоизлияния (которые не бледнеют при нажатии) тогда срочно вызывайте врача. В большинстве случаев такие высыпания проходят самостоятельно за 5–7 дней.